Głupie problemy z liczbą 2

Wyobraźmy sobie, że ktoś ma głupi problem związany z liczbą 2: chce wiedzieć, jaka jest ostatnia cyfra (w zapisie dziesiętnym, rzecz jasna, bo w binarnym to chyba oczywiste) 2²¹⁷ (2, do potęgi dwa do siedemnastej). Czy można mu jakoś szybko udzielić odpowiedzi na to dziwne pytanie?

Trywialnym sposobem rozwiązania tego problemu wydaje się po prostu napisać program, który policzy nam 2²¹⁷ i powiedzenie delinkwentowi ostatniej cyfry. Czasem jednak będziemy daleko od komputera. Co wtedy? Strzelać? Szanse mamy jedną na cztery: potęga dwójki nie będzie nieparzysta, nie będzie też się kończyć na 0 (wtedy byłaby podzielna przez pięć), zostają nam zatem 2, 4, 6, 8

Nie ma po co strzelać, bo odpowiedź jest bardzo prosta: 6. Jak ktoś nie wierzy, może sprawdzić tutaj (uwaga, jest to ponad 39 tysięcy cyfr!). I będzie to również prawdą nie tylko dla 2²¹⁷, ale również dla dowolnej liczby postaci 2²ⁿ, przy założeniu, że n>1. Dlaczego?

2²ⁿ = 2^2n-1·2 = (2²)^2n-1, co jest równe 4^2n-1. Musimy pokazać, że taka liczba będzie się kończyła na 6. Równie dobrze jednak się nada odrobinę mocniejsze twierdzenie: każda parzysta potęga czwórki kończy się cyfrą sześć (2^n-1 będzie parzyste dla każdego n różnego od 0).

Popatrzmy, co się dzieje z ostatnimi cyframi kolejnych potęg czwórki:

4
16,
64,
256,
1024,
4096, ...

Łatwo zauważyć, że mamy raz czwórkę, raz szóstkę. Dzieje się tak ponieważ mnożenie przez cztery modulo 10 będzie zawsze prowadzić do cyklu, a jeżeli zaczniemy od 1, będzie on wyglądał właśnie tak: 4, 6, 4, 6, 4, 6... Czwórka pojawia się jak podnosimy nieparzystą ilość razy, szóstka jak parzystą.

Podobny cykl występuje przy mnożeniu modulo dziesięć przez dwa: 2, 4, 8, 6, 2, ... . Pozwala nam to łatwo określać ostatnie cyfry potęg dwójki. Na przykład, aby potęga dwójki kończyła się ósemką, wykładnik musi być równy k·n-1, dla pewnych naturalnych k i n.

Cały problem należy do klasy problemów nietrudnych i niepoważnych, jak jednak pokazała szybka ankieta via GG i na seminarium, nie jest również oczywisty. A to sprawia, że jest zabawny.