Frege a Fitzcarraldo (z teoriomnogościową definicją funkcji w tle)

Jeżeli tropikalne upały, które nawiedziły ostatnio Warszawę, spędza się czytając dzieła semantyczne Fregego (w tłumaczeniu Wolniewicza), nie ma co się dziwić, że skojarzenia ma się co najmniej dziwne. Dlatego nie dziwiłem się wcale, że Frege zaczął mi się kojarzyć przede wszystkim z filmem Fitzcarraldo Wernera Herzoga, z Klausem Kinskym i Claudią Cardinale.



Fitzcarraldo opowiada, jak niektórzy może wiedzą, o miłośniku opery opętanym myślą o wybudowaniu opery z prawdziwego zdarzenia w Iquitos, który aby zdobyć pieniądze na realizację swojego szalonego przedsięwzięcia stara się m.in. przetransportować parostatek przez górę w dżungli, w celu wytyczenia nowej drogi transportu kauczuku. Całość kończy się (jak można było przewidzieć) efektowną katastrofą (Fitzcarraldo nie dogaduje się z Indianami, którzy widzą w statku narzędzie realizacji swojego proroctwa religijnego, więc odcinają go z cum i dryfują w kierunku wielkiego wodospadu), jednak Fitzcarraldo ma jeszcze tyle pieniędzy, aby sprowadzić Caruso i resztę ekipy aby zaśpiewali na łódkach dla niego -- mamy więc happy end. Pikanterii całemu filmowi dodaje fakt, że Herzog bardzo nie lubił efektów specjalnych i na potrzeby filmu zużył dwa parostatki, z czego jeden faktycznie przeniósł przez górę, a drugi puścił z prądem przez wodospad (cały czas filmując w środku).

Dlaczego akurat z tym filmem mi się Frege skojarzył? Frege starał się zrobić coś, co na pierwszy rzut oka (na drugi zresztą też) wydaje się być nieco szalone: stworzyć ideografię, która pozwoliłaby mu zapisywać myśli (tzn. chodzi o to, aby zdania zapisane za pomocą tejże ideografii posiadały tylko jeden określony sens). Nie sądzę, aby ten cel udało mu się w pełni zrealizować (o niedostatkach liniowo uporządkowanych kwantyfikatorów pisze np. Hintikka), jednakże to właśnie dzięki Fregemu logika europejska wyrwała się z okowów sylogistyki, dając Gottlobowi zasłużone miejsce w panteonie obok Arystotelesa, Gödla i Tarskiego. Czyli poniekąd sytuacja podobna do filmu Herzoga: jest happy end, ale na nieco mniejszą skalę niż chciałby główny bohater (pomińmy fakt, że Frege swojego happy endu się nie doczekał).



Za życia Frege był dość mocno niedoceniony (na jego zaawansowane wykłady z ideografii logicznej uczęszczały trzy osoby: Carnap, kolega Carnapa i pewien niewymieniony z nazwiska emerytowany wojskowy), zdarzały mu się też niezłe gafy, jak polemika z nieżyjącym oponentem, Brunonem Kerrym.

Uważany za jednego z ojców założycieli filozofii analitycznej, w niektórych jego pismach nie brak fragmentów całkiem ładnych literacko i wręcz poetyckich, jak na przykład w artykule Myśl. Studium logiczne. Leciutki żar mistyczny da się odczuć, gdy pisze on o Trzecim Królestwie (czyli, mówiąc po ludzku, platońskim niebie).

Wreszcie, miałem pewną zagwozdkę z analizą następującego fragmentu artykułu Co to jest funkcja? (1904):

Osobliwości znaków funkcyjnych, zwanej przez nas nienasyceniem, odpowiada naturalnie coś w samych funkcjach. Je także można nazwac nienasyconymi, pokreślając tym samym ich zasadniczą odmienność od liczb. Nie jest to oczywiście definicja, bo żadnej definicji podać się nie da.

Chciałoby się rzec, że tutaj wielki Frege najzwyczajniej w świecie źle przewidział, bo obecnie byle student filozofii po logice 1 jest w stanie podać teoriomnogościową definicję funkcji jako zbioru par uporządkowanych spełniających warunek jednoznaczności. Przeszukawszy Internet, przeczytałem jednak, że nowoczesną definicję funkcji mieli podać niezależnie Dirichlet i Łobaczewski, w pierwszej połowie XIX wieku. Czyżby Frege aż tak nie zdãżał?

Dalsze poszukiwania dowiodły jednak, że to Wikipedia słabo zdãża. Definicja Dirichleta z 1937 roku jest dość problematyczna (za tym artykułem):

If a variable y is so related to a variable x that whenever a
numerical value is assigned to x, there is a rule according to which a
unique value of y is determined, then y is said to be a function of the
independent variable x.

Cały problem ukrywa się w niewinnym, zdawałoby się, sformułowaniu a rule according to which. Jaka ma być ta zasada? Co to jest zasada? Czy ma ona być obliczalna, czy...? Definicja jest co najmniej problematyczna.

Jak się okazuje, w XIX-wiecznej matematyce była cała wielka dyskusja na temat definicji funkcji. Szukano ,,naturalnej'' definicji funkcji, wszystkie jednak definicje okazywały się za wąskie -- udawało się wymyślić dla nich odpowiedniego potworka.

Nie udało mi się znaleźć, kto w końcu sformułował teoriomnogościową definicję funkcji. W jednym artykule podaje się jako autora Patryka Suppesa, jednak mi się wydaje dość mocno podejrzane, żeby dokonano tego dopiero w 1960 roku. Pytanie to mnie zafrapowało do tego stopnia, że aż wysłałem w tej sprawie list do Pryncypała...

Wracając zaś do Fregego: może się pomylił, ale był to błąd poniekąd wybitny... NIe powinniśmy mieć o to do niego pretensji, tak jak nie będziemy mieli pretensji do adherentów róznych hipotez odnośnie do problemu P vs NP, jak (jeśli) kiedyś wreszcie zostanie rozwiązany.

edit@29/06/2006 11:35: w odpowiedzi na mojego mejla z pytanie o pochodzenie definicji funkcji Pryncypał napisał:

Zgodnie z moim rozeznaniem takie pojęcie funkcji niewątpliwie pojawia się w
Principia Mathematica i bardzo możliwe, że pochodzi od Russella.

Nawiasem mówiąc podane określenie Łobaczewskiego jest zgodne z tym
rozumieniem funkcji.

Póki co jestem uziemiony (nie poświęcę egzaminu z filozofii analitycznej aby jechać przeglądać Principia, a wersja oferowana przez Gógla do przeglądania jest okrojona), więc odwołanie się do autorytetu Pryncypała musi szanownym czytelnikom wystarczyć.